空間站的飛行軌跡是怎樣形成的？衛(wèi)星是如何繞地飛行的？3 月 18 日 12 時，《張朝陽的物理課》開播，張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，回歸經(jīng)典力學，推導空間站的飛行軌道等問題。他先從牛頓力學出發(fā)，為網(wǎng)友們解答了衛(wèi)星為什么能在天上運行而不掉下來，接著帶領大家復習了第一、第二宇宙速度的計算以及同步衛(wèi)星的概念，在課程結(jié)尾演示了萬有引力下的能量守恒定律和衛(wèi)星軌跡方程的求解。

復習第一、第二宇宙速度 計算同步衛(wèi)星軌道半徑

為便于理解，在本次直播中張朝陽先帶網(wǎng)友復習了第一、第二宇宙速度的計算，并且介紹了同步衛(wèi)星的概念。為此，張朝陽先根據(jù)牛頓第二運動定律 F=ma 寫出衛(wèi)星做圓周運動的方程：

張朝陽解釋道，做勻速圓周運動的物體，其速度大小雖然沒有改變，但是速度的方向是在不斷變化的，因此這個物體具有加速度。首先，角速度是角度隨時間的變化率，而速度等于角速度與半徑的乘積：

他畫指示圖來進行說明：

(張朝陽在直播中推導圓周運動加速度公式)

在一個很小的時間間隔上，速度的改變量指向圓心，它的大小等于速度乘以角度改變量。除以 dt 就可以得到加速度的公式：

將此加速度公式代回衛(wèi)星圓周運動方程，化簡可得衛(wèi)星的速度：

G 和 M 分別是萬有引力常數(shù)和地球質(zhì)量。隨后，他在白板上演示了如何通過“黃金代換公式”將 G 和 M 換成更常見的物理量。為此，張朝陽考慮了地球表面的萬有引力：mg=GMm / R^2，這里 R 表示地球半徑，m 表示地球表面附近物體的質(zhì)量，g 表示地球表面附近的重力加速度。于是有 GM=gR^2。將這個結(jié)果代回衛(wèi)星速度公式就得到：

張朝陽介紹，第一宇宙速度就是地球表面附近的衛(wèi)星繞著地球做圓周運動時的速度。此時 r 近似為 R，于是得到第一宇宙速度公式：

這個速度的值是 7.9km / s。而對于地球同步衛(wèi)星，其公轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即其公轉(zhuǎn)角速度應等于地球的自轉(zhuǎn)角速度。張朝陽將速度換成角速度乘以軌道半徑，于是得到：

代入地球自轉(zhuǎn)角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數(shù)值，張朝陽算得同步衛(wèi)星軌道半徑約為 42600 km?！八?，為了保證衛(wèi)星同步轉(zhuǎn)動，其運行的軌道半徑必須為四萬兩千多公里?！睆埑柨偨Y(jié)道。

接下來，張朝陽繼續(xù)介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度，就是物體從地球表面出發(fā)逃逸到無窮遠處至少所需的初速度。

他先考慮了物體沿徑向運動的情況。假設物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸，到了無窮遠處這個物體的速度必須是零，否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時候引力做的功剛好抵消掉物體的動能，于是有：

于是得到第二宇宙速度公式：

這個速度大小是 11.2 km / s。推導這個結(jié)果時考慮的是徑向運動，因此張朝陽提了一個問題，如果物體以這個速度從切線方向飛出，那它還能不能逃逸到無窮遠處呢？他介紹，這個問題將在下一次課程直播中解答。

推導萬有引力下的能量守恒 解釋衛(wèi)星動能勢能總和不變

隨后，張朝陽又進行了萬有引力下的能量守恒定律的推導，揭示衛(wèi)星在引力場中的總能量由動能和引力勢能兩部分組成，衛(wèi)星運動期間總能量保持不變?？紤]到情況的普遍性，張朝陽使用了矢量分析的工具來進行推導。當物體在引力場中運動了一小段距離時，引力場做的功是：

其中矢量 er 是徑向單位矢量。張朝陽給網(wǎng)友們詳細演示了如何對此式進行化簡：

于是萬有引力做的功可以化為：

又因牛頓第二運動定律：

于是得出：

張朝陽解釋道，括號里邊的值就是總能量。在物體運動過程中，總能量的改變量為 0，這就是引力場下的能量守恒定律?？偰芰勘磉_式中的第一項是物體的動能，帶負號的第二項是它的引力勢能。

(張朝陽推導引力場下的能量守恒定律)

推導萬有引力下的衛(wèi)星軌跡 計算橢圓軌道時的極值距離

在地球引力下，衛(wèi)星是如何運行的？張朝陽繼續(xù)進行推演。首先，他引入了極坐標，并作如下推導：

其中上標的撇號表示對時間求導。該推導需結(jié)合張朝陽直播所畫的示意圖來理解。

(張朝陽推導所用圖示)

結(jié)合萬有引力下的牛頓第二定律：

對比徑向分量和角向分量立即得到：

于是 r^2θ’是常數(shù)，張朝陽將其記為 a。他解釋道，θ’是單位時間經(jīng)過的角度，r^2θ’/2 就是衛(wèi)星連接地球中心的線段在單位時間內(nèi)掃過的面積，這個面積是一個常數(shù)，這就是開普勒第二定律。

利用這個常數(shù)可以消去角度對時間的導數(shù)，從而根據(jù)上面的第一個式子得到：

為求解這個方程，張朝陽引入了新的變量 y=1 / r，并且將對時間的導數(shù)化為對角度的導數(shù)：

將這個結(jié)果代入上面關于 r 的方程立即得到：

他強調(diào)，這是一個很簡單的方程，其通解為 y=A cos (θ+θ0)+ GM / a^2，其中 A>0。并且，可以重新選取角坐標的原點使 θ0=0，將 y 代回到原形式 1 / r，可得：

張朝陽解釋，這正是極坐標下橢圓、拋物線或者雙曲線的方程，也就是說衛(wèi)星的運行軌跡只能是這三種曲線中的一種。據(jù)此，可以計算當運動軌跡為橢圓時的近地點距離和遠地點距離。軌跡上離地球最近的距離是 1/(A+B)，最遠的距離是 1/(B-A)。

(張朝陽推導出衛(wèi)星的軌跡)

據(jù)悉，在下節(jié)課中，張朝陽將會就空間站軌道的穩(wěn)定性 —— 當運行軌道受到干擾時，會發(fā)生怎樣的改變進行推導解答。

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