阿基米德、牛頓和高斯這三個(gè)人，在大數(shù)學(xué)家中自成一個(gè)等級(jí)，試圖按照功績(jī)排列他們的位置，不是普通人做得到的。這三個(gè)人都在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面掀起了浪潮：阿基米德評(píng)價(jià)他的純數(shù)學(xué)高于它的應(yīng)用數(shù)學(xué)；牛頓把他的數(shù)學(xué)發(fā)明應(yīng)用于科學(xué)；而高斯宣稱，做純數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)，對(duì)他都一樣。然而，高斯還是把高等算術(shù)（他那個(gè)時(shí)代最不實(shí)用的數(shù)學(xué)研究），推崇為全部數(shù)學(xué)的皇后。
數(shù)學(xué)王子高斯是一個(gè)貧窮人家的子弟，1777 年 4 月 30 日出生在德意志不倫瑞克的一個(gè)村舍里。在整個(gè)數(shù)學(xué)史中，從沒(méi)有過(guò)像高斯那樣早熟的人。人們不知道阿基米德何時(shí)顯露出天才的跡象。牛頓最早表現(xiàn)出他極高的數(shù)學(xué)才能時(shí)，可能也沒(méi)有被注意到。雖然有些難以置信，但是高斯在 3 歲以前就顯示出了他的才能。晚年的高斯喜歡開玩笑，說(shuō)他在會(huì)說(shuō)話以前就知道怎樣數(shù)數(shù)了。他終生保持著作復(fù)雜心算的非凡能力。
高斯剛過(guò) 7 歲就進(jìn)了他的第一所學(xué)校。高斯 10 歲時(shí)開始上算術(shù)課。在早期的學(xué)習(xí)中，高斯發(fā)展了一生中的一個(gè)主要興趣。他很快掌握了二項(xiàng)式定理，
其中 n 不一定是正整數(shù)，它可以是任何數(shù)。如果 n 不是正整數(shù)，右邊的級(jí)數(shù)是無(wú)窮的，為了說(shuō)明這個(gè)級(jí)數(shù)何時(shí)真正等于（1+x）^n，必須研究對(duì) x 和 n 需要加什么限制，才能使無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂到一個(gè)確定的有限的極限。因?yàn)?，如?x=-2，n=-1，就得出荒唐的結(jié)論（1-2）^-1，就是（-1）^-1，也就是-1，等于 1＋2＋2^2＋2^3＋…，以至無(wú)窮；那就是說(shuō)，-1 等于“無(wú)窮數(shù)”，這顯然是荒唐的。
高斯與二項(xiàng)式定理早期的相遇，鼓舞他做出一些最偉大的工作，他成了第一個(gè) "嚴(yán)格主義者"。當(dāng) n 不是一個(gè)大于零的整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式定理的證明甚至在今天也超出了初級(jí)教科書的范圍。高斯不滿意書里的證明，高斯又作了一個(gè)證明，這使他開始進(jìn)入數(shù)學(xué)分析。分析學(xué)的真正精髓在于正確使用無(wú)窮過(guò)程。
高斯將要改變數(shù)學(xué)的整個(gè)面貌。牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯 —— 都是他們各自時(shí)代的大數(shù)學(xué)家 ———— 實(shí)際上對(duì)于現(xiàn)在可以接受的、涉及無(wú)窮過(guò)程的證明毫無(wú)概念。是高斯第一個(gè)清楚地看到，可能會(huì)導(dǎo)致像“-1 等于無(wú)窮大”這樣荒唐的結(jié)論的 "證明"，根本就不是證明。即使在某些情形下，一個(gè)公式提供了沒(méi)有矛盾的結(jié)果，它在數(shù)學(xué)中也是沒(méi)有地位的，除非確定了嚴(yán)格的條件，它在這些條件下能不斷地產(chǎn)生沒(méi)有矛盾的結(jié)果。
高斯賦予分析學(xué)的嚴(yán)格性，在他自己的習(xí)慣和他的那些同代人 ——— 阿貝爾、柯西，以及后繼者 —— 魏爾斯特拉斯、戴德金 —— 的習(xí)慣的影響下，漸漸使數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域相形見絀，高斯以后的數(shù)學(xué)成了與牛頓、歐拉和拉格朗日的數(shù)學(xué)完全不同的東西。
從積極的意義上說(shuō)，高斯是一個(gè)革命者。12 歲時(shí)他已經(jīng)用懷疑的眼光看歐幾里得幾何基礎(chǔ)了；到 16 歲，他已經(jīng)第一次瞥見了不同于歐幾里得幾何的另一種幾何。一年以后，他開始探索性地批判數(shù)論中他的前輩們感到滿意的那些證明，并從事于填補(bǔ)空白。算術(shù)是他最早獲得成功的領(lǐng)域，成了他發(fā)表巨著的陣地。高斯對(duì)于什么是證明的本質(zhì)，具有確信無(wú)疑的感知，同時(shí)又具有無(wú)人超越的、豐富的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力。這二者的結(jié)合是無(wú)堅(jiān)不摧的。
高斯曾受到哲學(xué)研究的強(qiáng)烈吸引，不過(guò)他不久就在數(shù)學(xué)中找到了更迷人的吸引力，這對(duì)科學(xué)是幸運(yùn)的。高斯在進(jìn)大學(xué)時(shí)已熟練掌握了拉丁文，他的許多最偉大的著作都是用拉丁文寫的。
高斯在卡羅林學(xué)院學(xué)習(xí)了三年，在這期間他掌握了歐拉、拉格朗日較為重要的著作，而最重要的是牛頓的《原理》。一個(gè)偉大人物所能得到的最高贊揚(yáng)，是從與他同一等級(jí)的另一個(gè)偉大人物那里得到的贊揚(yáng)。高斯作為一個(gè) 17 歲的少年，從來(lái)沒(méi)有低估牛頓的功績(jī)。其他人 —— 歐拉、拉普拉斯、拉格朗日、勒讓德 —— 出現(xiàn)在高斯的拉丁文中的稱贊是 "輝煌的"；而牛頓則是 "最高的"。
還在卡羅林學(xué)院時(shí)，高斯就開始了他對(duì)高等算術(shù)的研究，這些研究后來(lái)使他流芳百世。他那非凡的計(jì)算能力起到了關(guān)鍵的作用。他直接探究數(shù)本身，用它們做實(shí)驗(yàn)，利用歸納法發(fā)現(xiàn)了一些深?yuàn)W的一般定理，這些定理，甚至他也要費(fèi)一番氣力才能證出來(lái)。用這種方法，他重新發(fā)現(xiàn)了 " 算術(shù)的瑰寶”，“黃金定理”，歐拉也曾用歸納法發(fā)現(xiàn)過(guò)它，人們把它叫做二次互反律，高斯是第一個(gè)證明它的人。
整個(gè)研究起源于一個(gè)許多算術(shù)初學(xué)者都會(huì)向自己提出的簡(jiǎn)單問(wèn)題：在循環(huán)小數(shù)的每一周期中有多少數(shù)字？高斯為了找到說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的線索，對(duì) n 從 1 到 1000 計(jì)算了所有的分?jǐn)?shù) 1 / n 的小數(shù)表示。他發(fā)現(xiàn)了偉大得無(wú)與倫比的東西 —— 二次互反律。因?yàn)殛愂龊芎?jiǎn)單，我們將描述它，同時(shí)介紹高斯發(fā)明的、在算術(shù)的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)中的一個(gè)革命性改進(jìn)，同余。下面涉及的所有的數(shù)都是整數(shù)。
如果兩個(gè)數(shù) a，b 之差（a-b 或 b-a）可以用數(shù) m 整除，我們就說(shuō) a，b 相對(duì)于模 m 同余，或者簡(jiǎn)稱為同余于模 m，我們用 a≡b（mod m）的符號(hào)表示它。這樣，100≡2（mod7），35≡2（mod11）。
這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)在于，它使我們想起了寫代數(shù)方程的方法。用一種簡(jiǎn)潔的記號(hào)表示算術(shù)的可除性，讓我們把在代數(shù)中導(dǎo)致有趣結(jié)果的某些方法，引進(jìn)算術(shù)中。例如，我們能夠把一些方程相“加”，我們發(fā)現(xiàn)倘若模都是相同的，同余式也能 "加" 起來(lái)，得到另外一些同余式。
設(shè) x 表示一個(gè)未知數(shù)，r 和 m 表示給定的數(shù)，r 不能被 m 整除。是否有一個(gè) x 使得
如果有，r 就稱作一個(gè) m 的二次剩余，如果沒(méi)有，r 就稱作一個(gè) m 的二次非剩余。
如果 r 是 m 的二次剩余，那么必定能夠找到至少一個(gè) x，其平方被 m 除余 r；如果 r 是 m 的二次非剩余，那么就沒(méi)有其平方被 m 除余 r 的 x。這些就是上面定義的直接結(jié)論。
舉例說(shuō)明：13 是 17 的二次剩余嗎？如果是，必須能夠找到同余。
用 1，2，3，… 去試，我們發(fā)現(xiàn) x=8，25，42，59，… 都是解，所以 13 是 17 的一個(gè)二次剩余。但是 x^2=5（mod17）沒(méi)有解，所以 5 是 17 的一個(gè)二次非剩余。
現(xiàn)在自然要問(wèn)，一個(gè)給定的 m 的二次剩余和二次非剩余是些什么呢？也就是說(shuō)，在 x^2≡r（modm）中給定 m，當(dāng) x 取所有的數(shù) 1，2，3，… 時(shí)，什么樣的數(shù) r 能夠出現(xiàn)，什么樣的數(shù) r 不能出現(xiàn)呢？
不用費(fèi)太大力氣就能表明，要回答這個(gè)問(wèn)題，限定 r 和 m 都是素?cái)?shù)就足夠了。所以我們重新說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題：如果 p 是一個(gè)給定的素?cái)?shù)，什么樣的素?cái)?shù) q 能使同余 x^2≡q（mod p）可解呢？在算術(shù)的目前狀態(tài)下，這要求得太多了。不過(guò)，這種情形并不是毫無(wú)希望的。
在下面這對(duì)同余式中存在著美妙的 "互反"，
其中 p 和 q 都是素?cái)?shù)：如果 q≡1 mod 4，那么同余 x^2≡p mod q 是可解的當(dāng)且僅當(dāng) x^2≡ q mod p 是可解的。如果 q≡3 mod 4 和 p ≡ 3mod 4，那么同余 x^2= p mod q 是可解的當(dāng)且僅當(dāng) x^2≡-q mod p 是可以解決的。
它是不容易證明的，事實(shí)上，它曾使歐拉和勒讓德困惑過(guò)，高斯則在 19 歲時(shí)給出了第一個(gè)證明。由于這個(gè)互反律在高等算術(shù)以及代數(shù)的許多高深部分中非常重要，高斯試圖找到它的根源。他反復(fù)考慮了許多年，直到他一共給出了 6 種不同的證明，其中有一種取決于正多邊形的尺規(guī)作圖。
高斯在 1795 年 10 月他 18 歲時(shí)，離開卡羅林學(xué)院，進(jìn)了哥廷根大學(xué)，那時(shí)他仍然沒(méi)有決定是以數(shù)學(xué)還是以哲學(xué)作為他畢生的事業(yè)。他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了（18 歲時(shí)）“最小二乘”法，這個(gè)方法今天在大地測(cè)量學(xué)、在觀測(cè)的簡(jiǎn)化、在實(shí)際上要從大量測(cè)量結(jié)果推導(dǎo)出最可能值的所有工作中，都是不可或缺的。高斯與勒讓德共享這一榮譽(yù)，勒讓德在 1806 年獨(dú)立發(fā)表了這個(gè)方法。這項(xiàng)工作是高斯對(duì)觀測(cè)誤差理論感興趣的開始。誤差正態(tài)分布的高斯規(guī)律，以及和它一起的鐘形曲線是統(tǒng)計(jì)學(xué)中不可或缺的。
轉(zhuǎn)折
1796 年 3 月 30 日標(biāo)志著高斯一生的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在那一天，距他 20 歲生日正好一個(gè)月，高斯明確地決定了從事數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)語(yǔ)言仍然是他終生保持的一項(xiàng)愛好，但是哲學(xué)在 3 月的這個(gè)難忘的一天，永遠(yuǎn)失去了高斯。
同一天高斯開始記他的科學(xué)日記，這些日記是數(shù)學(xué)史上最寶貴的文件之一。第一篇記錄了他的偉大發(fā)現(xiàn)。只是到了 1898 年，高斯去世后 43 年，這本日記才在科學(xué)界傳播，當(dāng)時(shí)哥廷根皇家科學(xué)院從高斯的一個(gè)孫子手里借來(lái)這本日記，進(jìn)行鑒定研究。高斯在 1796 年至 1814 年這段多產(chǎn)期間的所有發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有被全部記錄下來(lái)。但是許多匆匆忙忙記下來(lái)的點(diǎn)滴，足以確立高斯在這樣一些領(lǐng)域 —— 例如橢圓函數(shù) —— 中的領(lǐng)先地位。
有幾則日記表明，日記完全是它的作者的私事。如 1796 年 7 月 10 日的日記上，記著
翻譯過(guò)來(lái)，這是模仿阿基米德歡呼“Eureka（找到了）！”它說(shuō)明每一個(gè)正整數(shù)都是三個(gè)三角形數(shù)的和，一個(gè)三角形數(shù)是數(shù)列 0，1，3，6，10，15，… 中的一個(gè)，其中（0 以后的）每一個(gè)都具有 1/2n（n+1）這個(gè)形式，n 是任意正整數(shù)。另一種說(shuō)法是，每一個(gè)形式為 8n+3 的數(shù)都是三個(gè)奇數(shù)平方的和：
要想證明它是不容易的。
更難理解的是 1796 年 10 月 11 日的日記中神秘的一則，"Vicimus GE-GAN"。這次高斯縛住了什么樣的怪龍呢？再有，1799 年 4 月 8 日，他用整齊的方框圈起 REV.GALEN 時(shí)，他征服了什么樣的巨人呢？雖然這些東西的意義已經(jīng)永遠(yuǎn)失去了，但是留下來(lái)的那 144 個(gè)，大多數(shù)是夠清楚的。特別是有一個(gè)具有頭等的重要性：1797 年 3 月 19 日的日記表明，高斯已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一些橢圓函數(shù)的雙周期性。他那時(shí)還不到 20 歲。再有，一則較晚的日記表明，高斯已經(jīng)看出了一般情形的雙周期性。要是他發(fā)表這個(gè)結(jié)果，就足以使他名聲顯赫。但是他從來(lái)沒(méi)有發(fā)表它
為什么高斯沒(méi)有披露他的偉大發(fā)現(xiàn)呢？高斯說(shuō)，他從事科學(xué)著作，只是出于他天性的最深層的激勵(lì)，至于這些著作是否要為其他人而出版，對(duì)他來(lái)說(shuō)，完全是次要的事情。高斯有一次對(duì)一位朋友說(shuō)的另一番話，解釋了他的日記和他遲遲不發(fā)表的原因。他說(shuō)，在他 26 歲以前，有那樣一堆勢(shì)不可擋的新思想在他腦海中翻騰，以致他幾乎無(wú)法控制它們，他的時(shí)間只來(lái)得及記錄下來(lái)一小部分。這本日記只包含一些曾經(jīng)使他煞費(fèi)苦心地思考了好幾個(gè)星期的研究成果的最后的簡(jiǎn)短說(shuō)明。
高斯認(rèn)為自己留下來(lái)的都應(yīng)該是完美的藝術(shù)品，增一分則多，減一分則少。他說(shuō)，一座大教堂在最后的腳手架拆除和挪走之前，還算不上是一座大教堂。高斯抱著這樣的理想工作，他寧肯三番五次地琢磨修飾一篇杰作，也不愿發(fā)表他很容易就能寫出來(lái)的許多杰作的概要。他的座右銘
Pauca sed matura（少些，但是要成熟）。
結(jié)果，他的一些著作必須等待很有天賦的解釋者作出解釋后，一般的數(shù)學(xué)家才能夠理解它們，并向前邁進(jìn)。他的同代人請(qǐng)求他放寬他那僵硬無(wú)情的完美，以便數(shù)學(xué)可以前進(jìn)得更快些。但是高斯從沒(méi)有放寬。直到他去世以后很久，人們才知道，有多少 19 世紀(jì)的數(shù)學(xué)，高斯在 1800 年以前就已經(jīng)預(yù)見并領(lǐng)先了。要是他公布了他知道的結(jié)論，那么，很可能目前的數(shù)學(xué)要比現(xiàn)在的狀況前進(jìn)了半個(gè)世紀(jì)或者更多。阿貝爾和雅可比就能夠在高斯停下來(lái)的地方開始，而不必把他們大部分最好的精力用在重新發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生以前就知道的東西上了，非歐幾何的創(chuàng)造者們就能夠把他們的天才轉(zhuǎn)到其他事情上了。
談到他自己，高斯說(shuō)他 "只是一個(gè)數(shù)學(xué)家"，這對(duì)他是不公正的，他的第二個(gè)座右銘
大自然，你是我的女神，我愿意在你的定律面前俯首聽命……
真正概括了他獻(xiàn)身于他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的一生。
在哥廷根大學(xué)的 3 年是高斯一生中著述最多的時(shí)期（1795——1798）。他從 1795 年起就一直在構(gòu)思一部關(guān)于數(shù)論的偉大著作。到 1798 年，這部《算術(shù)研究》實(shí)際上完成了。期間他還結(jié)識(shí)了兩位數(shù)學(xué)家沃爾夫?qū)?鮑耶和約翰?弗里德里希?普法夫（當(dāng)時(shí)德國(guó)最著名的數(shù)學(xué)家）。
在敘述《算術(shù)研究》之前，我們要看一下高斯的博士論文，《每一個(gè)單變量的有理整函數(shù)都能分解成一階或二階實(shí)因子的一個(gè)新證明》。
這篇論文所證明的就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的，代數(shù)基本定理。高斯證明了任何代數(shù)方程的所有的根都是形式為 a＋bi 的數(shù)，i 是虛數(shù)。這種新類型的 "數(shù)"a＋bi 叫復(fù)數(shù)。
"虛數(shù)" 這個(gè)詞是代數(shù)最大的災(zāi)難，但是由于它早已得到公認(rèn)，數(shù)學(xué)家們無(wú)法取消它。其實(shí)根本就不該用它。很多數(shù)學(xué)書籍用旋轉(zhuǎn)給虛數(shù)作了一個(gè)簡(jiǎn)單的解釋。把 i×c（c 是實(shí)數(shù)）解釋成線段 Oc 繞 0 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)直角，Oc 就旋轉(zhuǎn)到 OY 上；再用 i 去乘一次，即 i×i×c，把 Oc 再旋轉(zhuǎn)一個(gè)直角，這樣總的效果就是把 Oc 旋轉(zhuǎn)了兩個(gè)直角，致使 + Oc 成了-Oc。作為一種運(yùn)算，用 i×i 去乘的乘積與用-1 去乘的乘積有同樣的效果，用 i 去乘的乘積與旋轉(zhuǎn)一個(gè)直角有同樣的效果。
高斯認(rèn)為，每一個(gè)代數(shù)方程有一個(gè)根的定理非常重要，因而他給出了 4 種明確的證明，最后一個(gè)證明是在他 70 歲時(shí)給出的。今天，一些人會(huì)把這個(gè)定理從代數(shù)轉(zhuǎn)移到分析。甚至高斯也假定多項(xiàng)式的圖形是連續(xù)曲線，而且如果多項(xiàng)式是奇次的，圖形一定至少與坐標(biāo)軸相交一次。對(duì)于任何一個(gè)初學(xué)代數(shù)的人，這都是顯然的。但是在今天，沒(méi)有證明它就不是顯然的，而要試圖證明它，又一次出現(xiàn)了與連續(xù)和無(wú)窮有關(guān)的那些困難。就像 x^2-2=0 這樣簡(jiǎn)單的方程的根，也不能在任何有限步內(nèi)精確地計(jì)算出來(lái)。
《算術(shù)研究》是高斯的第一部杰作，一些人認(rèn)為是他最偉大的杰作。在這之后，他就不再把數(shù)學(xué)作為唯一的興趣了。當(dāng)該著作在 1801 年（高斯那時(shí)是 24 歲）出版之后，他把他的活動(dòng)范圍擴(kuò)大到天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)和實(shí)用兩個(gè)方面。他在后期感到后悔的是一直沒(méi)有抽出時(shí)間來(lái)寫出他年輕時(shí)計(jì)劃寫的第二卷。這本書有 7 節(jié)。
前言的第一句描述了這本書涉及的大致范圍。
這本著作中包含的研究結(jié)果，是屬于涉及整數(shù)和分?jǐn)?shù)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)，無(wú)理數(shù)除外。
前 3 節(jié)論述同余式理論，特別詳盡地討論了二項(xiàng)同余式
這個(gè)精彩的算術(shù)理論，與相應(yīng)的二項(xiàng)方程 x^n=A 的代數(shù)理論有許多相似之處，但是它獨(dú)特的算術(shù)部分，比之與算術(shù)毫無(wú)相似之處的代數(shù)，更是無(wú)與倫比地豐富和困難。
在第 4 節(jié)，高斯發(fā)展了二次剩余的理論。在這里可以找到二次互反律的第一個(gè)發(fā)表了的證明。證明是令人驚奇地用數(shù)學(xué)歸納法得出的，是在任何地方都能找到的那種巧妙的邏輯的一個(gè)極好的例證。
第 5 節(jié)一開始從算術(shù)的觀點(diǎn)討論二元二次形式，接著又討論了三元二次形式，并發(fā)現(xiàn)它對(duì)完成二元理論是必不可少的。二次互反律在這些困難的計(jì)劃中起了十分重要的作用。對(duì)于所說(shuō)的第一種形式，一般的問(wèn)題是要討論不定方程
的關(guān)于 x，y 的整數(shù)解，其中 a，b，c，m 是任意給定的整數(shù)；對(duì)第二種形式，研究的主題是方程
的整數(shù)解 x，y，z，其中 a，b，c，d，e，f，m 是給定的整數(shù)。這個(gè)領(lǐng)域中的一個(gè)看起來(lái)容易、實(shí)際上困難的問(wèn)題，是要給 a，c，f，m 施加能夠保證不定方程
的整數(shù)解 x，y，z 存在的充分必要的限制。
第 6 節(jié)把前面的理論應(yīng)用到各種各樣的特殊情形，例如 mx^2+ny^2=A 的整數(shù)解 x，y，其中 m，n，A 是任給的整數(shù)。
這部著作的頂峰是第 7 節(jié)，高斯應(yīng)用前面的發(fā)展，特別是二次同余理論，精彩地討論了代數(shù)方程 x^n+1，其中 n 是任意給定的整數(shù)，從而把算術(shù)、代數(shù)和幾何一起編織成了一幅完美的圖案。方程 x^n=1 是畫正 n 邊形，或者 n 等分圓周的幾何問(wèn)題的代數(shù)公式；算術(shù)的同余 x^m≡1（mod p），是貫穿代數(shù)和幾何，并給這個(gè)圖案以簡(jiǎn)單意義的線索。
以前有些人 —— 費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和其他一些人，用其他方法做過(guò)所有這一切中的許多部分，但是高斯完全從他個(gè)人的觀點(diǎn)進(jìn)行討論，添加了許多他自己的東西，并從他對(duì)有關(guān)問(wèn)題的一般公式和解答，推出了他的前輩們得出的許多孤立的結(jié)果。例如，費(fèi)馬用他的 "無(wú)窮下降" 的方法，證明了每一個(gè)形為 4n＋1 的素?cái)?shù)是兩個(gè)數(shù)的平方和，并且表示成這種和的方式只有一種；他的這個(gè)美妙的結(jié)論，是高斯對(duì)二元二次形式的一般論述的自然結(jié)果。
高斯晚年時(shí)說(shuō)，"《算術(shù)研究》已經(jīng)成為歷史"。《算術(shù)研究》的出版給高等算術(shù)提出了一個(gè)新方向，這樣，在 17 世紀(jì)和 18 世紀(jì)是一堆五花八門、互不相干的特殊結(jié)果的數(shù)論，現(xiàn)采用了統(tǒng)一的形式，上升到在數(shù)學(xué)科學(xué)中與代數(shù)、分析和幾何同等的地位。
高斯的學(xué)生狄利克雷有一個(gè)令人驚奇的定理，即每一個(gè)算數(shù)級(jí)數(shù)
包含著無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，其中 a，b 是沒(méi)有比 1 大的公因子的整數(shù)。這是由分析證明的，這一點(diǎn)本身就是一個(gè)奇跡，因?yàn)槎ɡ砜紤]整數(shù)，而分析論述連續(xù)的非整數(shù)。
我們可能要問(wèn)，高斯為什么他從來(lái)沒(méi)有去解決費(fèi)馬大定理。他自己作了回答：
我對(duì)作為一個(gè)孤立命題的費(fèi)馬定理，實(shí)在沒(méi)有什么興趣，因?yàn)槲铱梢院茌p易地提出一大堆這樣的既不能證明其成立，又不能證明其不成立的命題。
高斯接著說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題使他回想起了他對(duì)高等算術(shù)進(jìn)行偉大擴(kuò)展的一些原有想法。這無(wú)疑是指庫(kù)默爾、戴德金和克羅內(nèi)克后來(lái)將要各自獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的代數(shù)數(shù)的理論。
谷神星
高斯一生的第二個(gè)偉大的階段開始于 19 世紀(jì)的第一天，這一天也是哲學(xué)史和天文學(xué)史上用紅字標(biāo)明的一天。自從 1781 年威廉?赫歇爾爵士發(fā)現(xiàn)了天王星，因而把那時(shí)已知的行星數(shù)目增加到哲學(xué)上令人滿意的 7 個(gè)以來(lái)，天文學(xué)家們一直孜孜不倦地搜索太空，尋找太陽(yáng)家族的其他一些成員。按照波得定律，它們應(yīng)該存在于火星和木星的軌道之間。搜索一直毫無(wú)結(jié)果，直到朱塞佩?皮亞齊在 19 世紀(jì)的第一天，觀察到他一開始誤認(rèn)為是一個(gè)正接近太陽(yáng)的小彗星的天體，但是它不久就被認(rèn)出是一顆新的行星 —— 后來(lái)命名為谷神星，今天所知道的一大群很小的行星中的第一顆。
谷神星的發(fā)現(xiàn)和著名哲學(xué)家弗里德里希?黑格爾發(fā)表對(duì)尋找第八顆行星的天文學(xué)家的諷刺性攻擊，正好在同一時(shí)候。黑格爾斷言，要是他們稍稍注意一下哲學(xué)，立刻就會(huì)明白，只能有七顆行星，不多也不少。
1844 年 11 月 1 日高斯寫信給他的朋友舒馬赫說(shuō)：
你在當(dāng)代哲學(xué)家謝林、黑格爾、內(nèi)斯?馮?埃森貝克和他們的追隨者身上看到同樣的東西（數(shù)學(xué)上的無(wú)能）；讀讀古代哲學(xué)史中當(dāng)時(shí)的大人物 —— 柏拉圖和其他人（我把亞里士多德除外）—— 在解釋方面所用的方法。但是甚至就康德本人來(lái)說(shuō)，常常也好不了多少。我認(rèn)為他對(duì)分析命題與綜合命題所作的區(qū)分，要么是平凡不足道的，要么是錯(cuò)誤的。
高斯在寫這封信時(shí)已經(jīng)充分掌握了非歐幾何，非歐幾何本身就足以駁倒康德關(guān)于 " 空間”和幾何的說(shuō)法。決不能因?yàn)橛嘘P(guān)純數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)的這個(gè)孤立的例子，就認(rèn)為高斯不了解哲學(xué)。他了解。一切哲學(xué)上的進(jìn)展對(duì)他都有著極大的魅力，盡管他常常不贊成取得這些進(jìn)展所使用的方法。他曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，
有些問(wèn)題，例如令人感動(dòng)的倫理學(xué)，或我們與上帝的關(guān)系，或關(guān)于我們的命運(yùn)和我們的未來(lái)的問(wèn)題，我對(duì)這些問(wèn)題的解答，比對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答重視得多；但是這些問(wèn)題完全不是我們能夠解答的，也完全不是科學(xué)范圍內(nèi)的事。
谷神星對(duì)于數(shù)學(xué)是一個(gè)災(zāi)難。要了解高斯為什么要那樣極嚴(yán)肅認(rèn)真地對(duì)待它，我們必須記住，在 1801 年，牛頓的龐大形象（已去世 70 多年）仍然給數(shù)學(xué)蒙著陰影。當(dāng)代的“大”數(shù)學(xué)家們，是那些孜孜不倦地完成牛頓的天體力學(xué)大廈的人，如拉普拉斯。數(shù)學(xué)依然被當(dāng)做數(shù)理物理學(xué)。阿基米德在公元前 3 世紀(jì)所看出的數(shù)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的幻象，已經(jīng)在牛頓的光輝照耀下消失了。直到年輕的高斯再次抓住這個(gè)幻象，數(shù)學(xué)才被承認(rèn)是一門獨(dú)立的科學(xué)。正當(dāng)他將要成為數(shù)學(xué)王國(guó)的未經(jīng)耕耘的荒野上，開始緊張地工作的時(shí)候，小行星谷神星，在他 24 歲時(shí)吸引了他無(wú)與倫比的智慧。
一顆新的行星，在它極難觀測(cè)到的位置被發(fā)現(xiàn)了。要從能夠得到的少得可憐的數(shù)據(jù)，計(jì)算出行星的軌道，這項(xiàng)工作就是拉普拉斯本人也會(huì)感到困難。牛頓曾經(jīng)宣稱，這種問(wèn)題屬于數(shù)理天文學(xué)中最困難的問(wèn)題。需要確立一條軌道，其精確度要足以保證谷神星在環(huán)繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)時(shí)能用望遠(yuǎn)鏡觀察到，光是確立這條軌道所需要的算術(shù)，就很可能難倒今天的計(jì)算機(jī)。
高斯，這位空前的數(shù)學(xué)之神，在他的日記里描述的那些隱約閃現(xiàn)的、難以捉摸的東西。谷神星被重新發(fā)現(xiàn)了，恰恰是在年輕的高斯經(jīng)過(guò)極其巧妙和詳細(xì)的計(jì)算，預(yù)計(jì)一定會(huì)找到它的地方發(fā)現(xiàn)的。歐拉需要三天時(shí)間才能完成的計(jì)算（據(jù)說(shuō)正是這種計(jì)算使他雙目失明），高斯只需要幾小時(shí)。將近 20 年間，他自己的大部分時(shí)間都花在天文學(xué)計(jì)算上了。
但是甚至這樣使人變得遲鈍而乏味的工作，也不能磨滅高斯的創(chuàng)造天才。1809 年他發(fā)表了他的第二部杰作《天體沿圓錐截線繞日運(yùn)動(dòng)的理論》，這部著作根據(jù)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)，包括困難的攝動(dòng)分析，對(duì)確定行星和彗星軌道作了詳盡的討論，制定了在以后許多年中支配計(jì)算天文學(xué)和實(shí)用天文學(xué)的規(guī)律。
1807 年，高斯被任命為哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。哥廷根天文臺(tái)在當(dāng)時(shí)能夠付給高斯的薪俸不多，但是足夠滿足高斯和他家庭的簡(jiǎn)單需要。正如他的朋友馮?瓦爾特肖森所寫的：
正如他年輕的時(shí)候一樣，在他整個(gè)老年時(shí)代，直到他辭世的那天，始終保持為一個(gè)簡(jiǎn)樸的高斯。一間小書房，一張鋪著綠色臺(tái)布的小小的工作臺(tái)，一張漆成白色的必備的書桌，一張單人沙發(fā)，在他 70 歲以后，又有一把扶手椅，一個(gè)帶燈罩的燈，一間沒(méi)有生火的臥室，簡(jiǎn)單的飲食，一件晨衣和一頂天鵝絨的便帽，這些就足以滿足他的全部需要了。
解析函數(shù)
如果高斯公開了他向貝塞爾吐露的一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，那么 1811 年可能就是可以與 1801 年（《算術(shù)研究》出版的那一年）相比的數(shù)學(xué)上的里程碑了。高斯已經(jīng)完全弄懂了復(fù)數(shù)和它們作為解析幾何平面上的點(diǎn)的幾何表示，他向自己提出了研究這種數(shù)的、今天稱為解析函數(shù)的問(wèn)題。
復(fù)數(shù) z=x＋iy。當(dāng) x，y 以任何指定的連續(xù)方式各自取實(shí)值時(shí)，點(diǎn) z 就在平面上移動(dòng)。當(dāng)給 z 指定一個(gè)值時(shí)，取任何一個(gè)包含 z 的單值表達(dá)式，諸如 z 或 1 / z 等等，稱為 z 的一個(gè)單值函數(shù)。我們用 f（z）表示這樣一個(gè)函數(shù)。于是，如果 f（z）是特定的函數(shù) z，使得
那么顯然當(dāng)給 z 指定任何值，例如 x=2，y=3，這個(gè) f（z）就因此確切地決定了一個(gè)值，z=-5＋12i。
并不是所有的單值函數(shù) f（z）都要在單復(fù)變量函數(shù)的理論中進(jìn)行研究；只是單演函數(shù)被挑選出來(lái)進(jìn)行詳盡的討論。
讓 z 移動(dòng)到另一個(gè)位置 z'。函數(shù) f（z）取另一個(gè)值 f（x'），由 x' 代替得到?，F(xiàn)在用變量的新值和舊值之差去除函數(shù)的新值和舊值之差 f（z’）-f（z），這樣就有
正像在計(jì)算一個(gè)圖形的斜率以找出圖形所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)做的那樣，這里我們讓 z' 無(wú)限接近 z，從而 f（z'）同時(shí)接近 f（z）。但是此處出現(xiàn)了一個(gè)值得注意的新現(xiàn)象。
x' 怎樣移動(dòng)到與 z 重合，在這里沒(méi)有一條統(tǒng)一的途徑，因?yàn)?z' 在與 z 重合之前，可以經(jīng)由無(wú)限多個(gè)不同的路徑，在復(fù)數(shù)平面上移動(dòng)。我們無(wú)法指望當(dāng) z' 與 z 重合時(shí)，（f（z'）-f（z））/（z'-z）對(duì)所有這些路徑的極限值都一樣，一般說(shuō)來(lái)是不一樣的。
但是如果 f（z）使得剛剛描述過(guò)的極限值，對(duì) z' 移動(dòng)到與 z 重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的所有路徑都是一樣的，那么就說(shuō) f（z）在 z（或者在代表 z 的點(diǎn)）是單演的。
一致性和單演性是單復(fù)變量解析函數(shù)的特殊的特征。
流體運(yùn)動(dòng)理論的廣闊領(lǐng)域，是由單變量解析函數(shù)處理的，由這個(gè)事實(shí)能夠推斷出解析函數(shù)的一些重要意義。假定這樣一個(gè)函數(shù) f（z）被分成 "實(shí)" 部和 "虛" 部，比如說(shuō) f（z）=U＋iV。對(duì)于特殊的解析函數(shù) z^2，我們有
想象一個(gè)在平面上流動(dòng)的流體層。如果流體的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有渦流，運(yùn)動(dòng)的流線就可以通過(guò)畫出曲線 U=a，其中 a 是任意的實(shí)數(shù)，由某個(gè)解析函數(shù) f（z）得到，同樣可以由 V=b 得到等位線。讓 a，b 變動(dòng)，我們就得到一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)圖形，其區(qū)域我們想要多大就有多大。對(duì)于一個(gè)給定的情形，比如說(shuō)圍繞著一個(gè)障礙物流動(dòng)的流體的情形，問(wèn)題的困難部分在于選擇什么樣的解析函數(shù)。這樣整個(gè)事情就倒了過(guò)來(lái)：研究一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，尋找它們適合的物理問(wèn)題。非常奇怪的是，這些人為準(zhǔn)備的問(wèn)題，有許多被證明在空氣動(dòng)力學(xué)和流體運(yùn)動(dòng)理論的其他實(shí)際應(yīng)用中是最有用的。
單復(fù)變量解析函數(shù)的理論，是 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)取得成功的最偉大的領(lǐng)域之一。高斯在給貝塞爾的信中，說(shuō)明了這個(gè)理論中的基本定理有多么重要，但是他沒(méi)有公開它，而留待柯西和后來(lái)的魏爾斯特拉斯去重新發(fā)現(xiàn)。由于這是數(shù)學(xué)分析史上的一個(gè)里程碑，我們要簡(jiǎn)單地描述它。
想象單復(fù)變量 z 在一個(gè)沒(méi)有扭結(jié)的有限長(zhǎng)的閉曲線上移動(dòng)。在曲線上標(biāo)出 n 個(gè)點(diǎn) P1，P2，…，Pn。使得 P1P2，P2P3，P3P4，…，PnP1 的每一段都不超過(guò)某個(gè)預(yù)先指定的有限長(zhǎng)度 l。在每一個(gè)這樣的線段上，選一個(gè)不在線段的兩端的點(diǎn)；對(duì)相應(yīng)于該點(diǎn)的 z 的值，形成 f（z）的值；把這個(gè)值與點(diǎn)所在的線段的長(zhǎng)度相乘。對(duì)于所有的段都這樣做，再把結(jié)果加起來(lái)。最后當(dāng)段的數(shù)目無(wú)限增加時(shí)，取這個(gè)和的極限值。這給出了 f（z）對(duì)于曲線的 " 線積分”。
這個(gè)線積分何時(shí)為零呢？為了使線積分為零，充分的條件是 f（z）是在曲線上和曲線內(nèi)的每一點(diǎn) z 都解析（一致和單演）。
超越幾何級(jí)數(shù)
這就是高斯在 1811 年告訴貝塞爾的偉大定理，它和同一類型的另一個(gè)定理，在獨(dú)立地重新發(fā)現(xiàn)它的柯西手里，將以推論的形式產(chǎn)生分析學(xué)中的許多重要結(jié)果。
1812 年，拿破侖的大軍拼命地掙扎著進(jìn)行穿越冰凍平原的后衛(wèi)戰(zhàn)斗，也正是在這一年，高斯發(fā)表了另一項(xiàng)偉大的工作，這是關(guān)于超越幾何級(jí)數(shù)
的工作，其中虛點(diǎn)表示級(jí)數(shù)按照所示的規(guī)律無(wú)限繼續(xù)下去，下一項(xiàng)是
這個(gè)研究報(bào)告是另一個(gè)里程碑。正如已經(jīng)指出的，高斯是現(xiàn)代第一個(gè)嚴(yán)格主義者。在這項(xiàng)工作中，為了使這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，必須給 a，b，c，x 加以一些限制。它作為特殊情形，包括了分析中的許多重要的級(jí)數(shù)，例如，用于在牛頓天文學(xué)和數(shù)理物理學(xué)中反復(fù)出現(xiàn)的對(duì)數(shù)、三角函數(shù)和其他一些函數(shù)的計(jì)算和造表中的級(jí)數(shù)；廣義的二項(xiàng)式定理也是一個(gè)特例。通過(guò)研究這個(gè)級(jí)數(shù)的一般形式，高斯一舉解決了許多問(wèn)題。從這項(xiàng)工作中，發(fā)展出了對(duì) 19 世紀(jì)物理學(xué)中的微分方程的許多應(yīng)用。
雖然由于篇幅所限，無(wú)法討論高斯對(duì)純數(shù)學(xué)所作貢獻(xiàn)的許多例子，但是甚至在最簡(jiǎn)單的概述中，有一個(gè)例子也是不容忽視的，這就是關(guān)于雙二次互反律這項(xiàng)工作。它的重要性在于，它給高等算術(shù)提供了一個(gè)完全出人意料的新方向。
既然已經(jīng)解決了二次互反的問(wèn)題，高斯考慮任何次數(shù)的二項(xiàng)同余式的一般問(wèn)題就是很自然的了。設(shè) m 是一個(gè)給定的、不能用素?cái)?shù) p 整除的整數(shù)，且設(shè) n 是一個(gè)已知的正整數(shù)，如果還能找到一個(gè)整數(shù) x，使得
那么就稱 m 為 p 的一個(gè) n 次剩余；當(dāng) n=4 時(shí)，m 就是 p 的一個(gè)雙二次剩余。
二次二項(xiàng)同余（n=2）的情形，對(duì) n 超過(guò) 2 時(shí)幾乎沒(méi)有什么提示。高斯要討論這些高次同余，研究相應(yīng)的互反律，即 x^n≡p（mod q），x^n≡q（mod p）之間（關(guān)于可解或不可解）的相互關(guān)系。特別是 n=3，n=4 的情形是要研究的。
1825 年的論文開辟了新天地。在經(jīng)過(guò)多次無(wú)法忍受的錯(cuò)誤之后，高斯發(fā)現(xiàn)，有理整數(shù)，1，2，3，… 不適宜于雙二次互反律的論述；必須發(fā)明一類全新的整數(shù)。這些被稱為高斯復(fù)數(shù)，是所有那些形式為 a＋bi 的復(fù)數(shù)，其中 a，b 是有理數(shù)。為了說(shuō)明雙二次互反律，必須對(duì)這些復(fù)整數(shù)的算術(shù)可除性規(guī)律作詳盡的初步討論。高斯作了這樣的討論，因而開始了代數(shù)數(shù)的理論。對(duì)于三次互反（n=3），他也用同樣的方式發(fā)現(xiàn)了正確的途徑。
高斯最喜愛的弟子愛森斯坦解決了三次互反問(wèn)題。他還發(fā)現(xiàn)了雙二次互反律和橢圓函數(shù)理論的某些部分之間令人驚奇的聯(lián)系，高斯在這方面作過(guò)深入的研究。
高斯還在幾何和數(shù)學(xué)對(duì)大地測(cè)量學(xué)、牛頓引力理論和電磁學(xué)的應(yīng)用方面，取得了同等重要的進(jìn)展。一個(gè)人怎么可能完成這樣大量的最高水平的工作呢？高斯說(shuō)，"如果其他人也像我這樣思考數(shù)學(xué)真理，也像我這樣深入，這樣持久，那么，他們也能作出我所作出的這些發(fā)現(xiàn)。"
高斯不由自主地專注于數(shù)學(xué)思想。他在和朋友們談話的時(shí)候，會(huì)突然沉默下來(lái)，沉浸在他無(wú)法控制的思想中，一動(dòng)不動(dòng)地站在那里，茫然地凝視著周圍的一切。過(guò)后他控制住了自己的思想，有意識(shí)地把他的全部力量用于解決一個(gè)困難問(wèn)題，直到成功為止。他一旦抓住一個(gè)問(wèn)題，在征服它之前是不會(huì)放手的，盡管他可能會(huì)同時(shí)專注于幾個(gè)問(wèn)題。
他在一個(gè)這樣的例子中，講述了他怎樣在長(zhǎng)達(dá) 4 年之久的時(shí)間里，幾乎沒(méi)有一個(gè)星期不花一些時(shí)間去試著解決一個(gè)確定的符號(hào)是正還是負(fù)，最后答案突然自己出現(xiàn)了。高斯經(jīng)常在花費(fèi)了幾天或幾個(gè)星期毫無(wú)結(jié)果地從事某項(xiàng)研究之后，在經(jīng)過(guò)了一個(gè)不眠之夜繼續(xù)工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)障礙消失了，全部解答清楚地閃現(xiàn)在他的腦海中。緊張而持久地集中精力的能力，是他過(guò)人之處之一。
這種在自己思考的世界中忘掉自己的能力，高斯與阿基米德、牛頓是相似的。在另外兩個(gè)方面，他也和他們不相上下：他具有精密觀察的天賦和科學(xué)獨(dú)創(chuàng)能力。這些才干，使他能夠設(shè)計(jì)出他的科學(xué)研究所必需的儀器。大地測(cè)量學(xué)中的回照器就歸功于高斯，這是一個(gè)巧妙的裝置，信號(hào)可以利用反射光即刻實(shí)地傳播出去。回照器在當(dāng)時(shí)是一大進(jìn)步。在高斯手里，他所用的天文儀器也得到了顯著的改進(jìn)。為了用于他對(duì)電磁學(xué)的重要研究，高斯發(fā)明了雙線磁強(qiáng)計(jì)。最后，他在 1833 年發(fā)明了電報(bào)，并和與他一起工作的威廉?韋伯把它用來(lái)傳送消息。數(shù)學(xué)天才與第一流的實(shí)驗(yàn)才能的結(jié)合，是全部科學(xué)中一種極為罕見的情形。
高斯本人極少關(guān)心他的發(fā)明可能有的實(shí)際用途。他像阿基米德一樣，寧要數(shù)學(xué)，也不要地上的全部王國(guó)。但是，韋伯清楚地看到了哥廷根的這個(gè)小小的電報(bào)對(duì)文明意味著什么。我們記得鐵路在 19 世紀(jì) 30 年代初剛剛出現(xiàn)，韋伯在 1835 年就預(yù)言，"當(dāng)全球都覆蓋上一張鐵路和電報(bào)的網(wǎng)時(shí)，這張網(wǎng)所提供的服務(wù)，就可以與人體神經(jīng)系統(tǒng)的作用相當(dāng)了，部分作為運(yùn)輸?shù)姆椒?，部分作為以閃電的速度傳播思想和大事件的方法。"
高斯與勒讓德
有一次經(jīng)歷使勒讓德成為高斯終身的敵人。高斯在他的《天體運(yùn)動(dòng)理論》中曾經(jīng)提到他很早發(fā)現(xiàn)的最小二乘法。勒讓德在高斯之前，于 1806 年發(fā)表了這個(gè)方法。他懷著極大的憤怒寫信給高斯，實(shí)際上是指責(zé)他不誠(chéng)實(shí)，并抱怨說(shuō)高斯有那么豐富的發(fā)現(xiàn)，原可以顧及體面，不必盜用最小二乘法 —— 勒讓德視之為他自己最珍愛的東西。拉普拉斯加入了這場(chǎng)爭(zhēng)吵。他沒(méi)有說(shuō)他是否相信高斯所肯定的確實(shí)比勒讓德領(lǐng)先 10 年或者更早，但是他保持他一向溫文爾雅的態(tài)度。
高斯顯然不屑于就這件事再爭(zhēng)論下去。但是他在給一個(gè)朋友的信中指出了證據(jù)，要是高斯不是那么“傲慢而不屑于爭(zhēng)吵”，這個(gè)證據(jù)當(dāng)時(shí)就可以結(jié)束這場(chǎng)爭(zhēng)論。他說(shuō)："我在 1802 年就把這整個(gè)問(wèn)題告訴奧伯斯了。" 而如果勒讓德對(duì)此有所懷疑，他本可以問(wèn)問(wèn)奧伯斯，奧伯斯手上有手稿。
這次爭(zhēng)論對(duì)數(shù)學(xué)后來(lái)的發(fā)展是非常不利的，因?yàn)槔兆尩掳阉麤](méi)有根據(jù)的懷疑告訴了雅可比，這樣就阻止了雅克比與高斯建立起親密的關(guān)系。在這場(chǎng)誤會(huì)中尤其令人遺憾的是，勒讓德是一個(gè)品德高尚的人，他本人是極為公正的。他命中注定要在一些領(lǐng)域里被比他富于想象力的數(shù)學(xué)家超過(guò)，他漫長(zhǎng)而勤勞的一生，大部分都花費(fèi)在這些領(lǐng)域中，而他的辛勞被年輕人 —— 高斯、阿貝爾和雅可比 —— 證明是多余的。高斯每一步都走在勒讓德前面。然而當(dāng)勒讓德指責(zé)高斯做事不公正時(shí)，高斯感到他本人陷入了困境。他寫信給舒馬赫，埋怨說(shuō)，
看來(lái)我是命中注定，幾乎在我所有的理論工作中都與勒讓德撞車。在高等算術(shù)中，在與橢圓求長(zhǎng)法（尋找曲線的弧長(zhǎng)過(guò)程）有關(guān)的超越函數(shù)的研究中，在幾何基礎(chǔ)中，都是這樣，而現(xiàn)在，在最小二乘法中，…… 也用在勒讓德的工作中，而且確實(shí)用得很漂亮。
高斯令人詬病的地方是，對(duì)于別人的偉大工作，特別是比較年輕的人的工作，缺乏熱誠(chéng)。當(dāng)柯西開始發(fā)表他在單復(fù)變量函數(shù)理論中的光輝發(fā)現(xiàn)時(shí)，高斯對(duì)它們置若罔聞，高斯沒(méi)有對(duì)柯西說(shuō)一句贊揚(yáng)或鼓勵(lì)的話，因?yàn)楦咚贡救嗽诳挛鏖_始這項(xiàng)工作以前很多年，就已達(dá)到了這個(gè)問(wèn)題的核心。還有，當(dāng)哈密頓關(guān)于四元數(shù)的著作在 1852 年引起他的注意時(shí)，他什么也沒(méi)有說(shuō)，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵早已記在他 30 多年前的筆記中了。他保持沉默，沒(méi)有提出他的優(yōu)先權(quán)。正如對(duì)他在單復(fù)變量函數(shù)理論、橢圓函數(shù)和非歐幾何中的領(lǐng)先地位一樣，高斯?jié)M足于做了這些工作。
其他偉大貢獻(xiàn)
要闡述高斯對(duì)數(shù)學(xué)、純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的全部突出的貢獻(xiàn)，需要寫一本很厚的書。這里我們只能考慮一些還沒(méi)有提到的、比較重要的工作，我們將選擇那些給數(shù)學(xué)增添了新方法，或者圓滿解決了突出問(wèn)題的工作。從粗略然而方便的時(shí)間表中，我們概括了高斯在 1800 年以后感興趣的主要領(lǐng)域如下：
1800——1820 年，天文學(xué)；
1820——1830 年，測(cè)地學(xué)、曲面理論、保角映射；
1830—1840 年，數(shù)理物理學(xué)，特別是電磁學(xué)、地磁學(xué)，以及基于牛頓定律的引力理論；
1841——1855 年，拓?fù)鋵W(xué)、與單復(fù)變量函數(shù)相聯(lián)系的幾何。
1821——1848 年，高斯是漢諾威和丹麥政府大規(guī)模測(cè)地勘測(cè)的科學(xué)顧問(wèn)。高斯積極投身于這項(xiàng)工作。他的最小二乘法和他在設(shè)計(jì)處理大量數(shù)值數(shù)據(jù)的格式方面的技巧，有了充分發(fā)揮的機(jī)會(huì)，但更重要的是，在精確測(cè)量一部分大地曲面中出現(xiàn)的問(wèn)題，無(wú)疑提出了與所有曲面有關(guān)的更深刻、更一般的問(wèn)題。這些研究將引出相對(duì)論的數(shù)學(xué)。高斯的幾位前輩，特別是歐拉、拉格朗日和蒙日，已經(jīng)研究過(guò)關(guān)于某些類型的曲面幾何，但是它仍然有待于高斯去解決全部一般性的問(wèn)題，從他的研究中產(chǎn)生了微分幾何的第一個(gè)偉大的時(shí)期。
微分幾何可以被粗略地描述為在一個(gè)點(diǎn)的鄰近處（近到使距離的高于二次的冪可被省略）對(duì)曲線、曲面等等性質(zhì)的研究。黎曼受到這項(xiàng)工作的啟發(fā)，在 1854 年寫出了構(gòu)成幾何基礎(chǔ)的假設(shè)的經(jīng)典論文，接著開始了微分幾何的第二個(gè)偉大時(shí)期，今天它被應(yīng)用于數(shù)理物理學(xué)，特別是廣義相對(duì)論中。
高斯在他的關(guān)于曲面的著作中考慮了三個(gè)問(wèn)題，提出了對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)具有重要意義的理論，這三個(gè)問(wèn)題是曲率的測(cè)量、保角表示（即映射）和曲面的可貼性。
"彎曲的" 時(shí)空，是對(duì)一個(gè)用四個(gè)坐標(biāo)而不是用兩個(gè)坐標(biāo)描述的 "空間”中通常可見的曲率的純數(shù)學(xué)的擴(kuò)展，這種并不神秘的推廣是高斯關(guān)于曲面的工作的自然發(fā)展。他的一個(gè)定義說(shuō)明了這一切的合理性。問(wèn)題是要設(shè)想一些精確的方法，來(lái)描述曲面的" 曲率 "怎樣從曲面的一個(gè)點(diǎn)變到另一個(gè)點(diǎn)；這種描述必須附合我們對(duì)于" 彎曲得多 "和" 彎曲得不多 " 的直觀感覺(jué)。
由一個(gè)沒(méi)有扭結(jié)的閉合曲線 C 圍成的曲面，其任何部分的全曲率是如下定義的。曲面在給定點(diǎn)的法線是通過(guò)該點(diǎn)的直線，它垂直于在給定點(diǎn)與曲面相切的平面。C 的每一個(gè)點(diǎn)處有一根曲面的法線。想象所有這些畫出來(lái)的法線。現(xiàn)在，想象一個(gè)球，其半徑為單位長(zhǎng)度，從該球的中心，畫出所有平行于 C 的法線的射線。這些射線將在單位半徑的球上交出一條曲線，比如說(shuō) C'。球面上由 C' 所圍的那一部分的面積，就定義為給定曲面上由 C 圍出的那一部分的全曲率。稍微想象一下就會(huì)看出，這個(gè)定義與所要求的普通概念是一致的。
高斯在曲面研究中開拓的另一個(gè)基本概念是參數(shù)表示。
表示平面上的一個(gè)特殊點(diǎn)，要求兩個(gè)坐標(biāo)。在球面或像地球那樣的球體上也一樣：在這種情形下坐標(biāo)可以被想象為經(jīng)度和緯度。這說(shuō)明了二維流形意味著什么。一般說(shuō)來(lái)，如果要具體表示一類東西（點(diǎn)、聲音、顏色、線）中的每一個(gè)特殊成員（使其個(gè)性化），恰好 n 個(gè)數(shù)是充分且必要的，那么就說(shuō)這個(gè)類是一個(gè) n 維流形。在這樣的表示中，人們同意，只給該類成員的某些特征指定數(shù)。例如，如果我們只考慮聲音的音高，我們就有一個(gè)一維流形，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)，即聲音的振動(dòng)頻率，就足以決定音高；如果我們加上音量，聲音現(xiàn)在就是一個(gè)二維流形了，等等。如果我們現(xiàn)在把曲面看成是由點(diǎn)構(gòu)成的，我們就看出它是一個(gè)（點(diǎn)的）二維流形。我們發(fā)現(xiàn)，用幾何的語(yǔ)言把任何二維流形說(shuō)成 "曲面"，并把幾何推理用于流形 —— 希望發(fā)現(xiàn)一些有趣的東西 —— 是很方便的。
上述考慮導(dǎo)致了曲面的參數(shù)表示。在笛卡兒的幾何中，三個(gè)坐標(biāo)之間的一個(gè)方程表示一個(gè)曲面。設(shè)（笛卡兒）坐標(biāo)是 x，y，z。我們現(xiàn)在用三個(gè)方程代替 x，y，z 的單獨(dú)一個(gè)方程來(lái)表示曲面：
其中 f（u，v），g（u，v），h（u，v）是新變量 u，v 的函數(shù)，當(dāng)這些變量被消去時(shí)，就得到 x，y，z 的曲面方程。u，v 稱為曲面的參數(shù)，三個(gè)方程 x=f（u，v），y=g（u，v），z=h（u，v）稱為曲面的參數(shù)方程。這種表示曲面的方法當(dāng)用于研究點(diǎn)與點(diǎn)之間變化很快的曲面的曲率和其他性質(zhì)時(shí)，要比笛卡兒方法優(yōu)越得多。
注意，參數(shù)表示是內(nèi)蘊(yùn)的；它的坐標(biāo)參照曲面本身，而不是像笛卡兒方法那樣，參照一組外在的與曲面無(wú)關(guān)的軸。還應(yīng)該注意到兩個(gè)參數(shù) u，v 直接表明曲面的二維性質(zhì)。地球上的經(jīng)度與緯度是這些內(nèi)在的、"自然" 坐標(biāo)的例子。
這個(gè)方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，它很容易推廣到任意維數(shù)的空間。只要增加參數(shù)的數(shù)目，像前面那樣做就足夠了。這些簡(jiǎn)單的想法導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得的度量幾何的推廣。這個(gè)推廣的基礎(chǔ)是由高斯奠定的，但是它們對(duì)于數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的重要意義，直到 20 世紀(jì)才受到充分重視。
大地測(cè)量學(xué)的研究還向高斯提示了幾何學(xué)中另一個(gè)有力的方法，即保角映射方法的發(fā)展。保持角度的映射稱為保角映射。在這樣的映射中，單復(fù)變量解析函數(shù)理論是最有用的工具。保角映射的整個(gè)課題經(jīng)常用于數(shù)理物理學(xué)及其應(yīng)用，例如靜電學(xué)、流體力學(xué)和它的分支空氣動(dòng)力學(xué)，在最后這個(gè)學(xué)科中，它在機(jī)翼理論中起了重要作用。
高斯一向仔細(xì)耕耘并取得成功的另一個(gè)幾何學(xué)領(lǐng)域，是曲面的可貼性，它要求決定什么樣的曲面能夠不拉伸、不撕裂、彎曲地貼到另一個(gè)給定的曲面上。在這里，高斯發(fā)明的方法又是具有普遍性的，并具有廣泛的用途。
高斯還對(duì)科學(xué)的其他領(lǐng)域進(jìn)行了重要研究，例如對(duì)電磁學(xué)（包括地磁學(xué)），毛細(xì)現(xiàn)象，引力規(guī)律中橢球體（行星是特殊類型的橢球體）之間的吸引力，以及屈光學(xué)，特別是關(guān)于透鏡組的屈光學(xué)等的數(shù)學(xué)理論，都作出了重要的研究。最后這個(gè)部門給他提供了一個(gè)應(yīng)用他的純抽象方法（連分式）的機(jī)會(huì)，這個(gè)方法是他在年輕時(shí)為了滿足對(duì)數(shù)論的好奇心而發(fā)展起來(lái)的。
高斯不僅把所有這些東西極端地?cái)?shù)學(xué)化了，他還善于用他的雙手和雙眼將數(shù)學(xué)應(yīng)用于其他學(xué)科。他發(fā)現(xiàn)的許多特殊的定理，特別是他在電磁學(xué)和引力理論的研究中發(fā)現(xiàn)的定理，成了所有在物理科學(xué)方面的人們必不可少的工具。高斯在他的朋友韋伯的幫助下，為所有的電磁現(xiàn)象尋找一個(gè)滿意的理論達(dá)許多年之久。由于沒(méi)有找到他認(rèn)為滿意的理論，他放棄了這項(xiàng)嘗試。如果他發(fā)現(xiàn)了電磁領(lǐng)域中的克拉克?麥克斯韋方程，他可能就滿意了。
最后，我們必須提及拓?fù)鋵W(xué)，關(guān)于這個(gè)學(xué)科他除了在 1799 年他的論文中順便提了一下以外，什么也沒(méi)有發(fā)表，但是他預(yù)言它將成為數(shù)學(xué)中一個(gè)備受關(guān)注的主要課題。
高斯的最后幾年榮譽(yù)滿身，但是他并沒(méi)有得到他有權(quán)享受的幸福。在他去世前幾個(gè)月，當(dāng)那致命的疾病顯露出最初的癥狀時(shí)，高斯仍然像他過(guò)去那樣思想敏捷活躍，有著豐富的創(chuàng)造力。然而他只要能工作就工作，盡管他的手痙攣，他那優(yōu)美清晰的書寫最后難于辨認(rèn)了。他寫的最后一封信是給戴維?布魯斯特爵士的，談到電報(bào)的發(fā)明。
他幾乎一直到最后都是清醒的，經(jīng)過(guò)一番要活下去的努力掙扎以后，他在 1855 年 2 月 23 日凌晨安詳?shù)厝ナ?，享?78 歲。他活在數(shù)學(xué)的每一個(gè)地方。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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