四大頂刊之一的《數(shù)學年刊》，正式接收北大袁新意獨作論文。在困擾數(shù)學界多年的 Uniform Bogomolov 猜想問題上取得重要進展。

值得一提的是，這篇論文還在預印版狀態(tài)時就已獲得一定引用，據(jù)稱還在不同的學術(shù)會議中被討論。

這一成果延續(xù)了袁新意在算術(shù)幾何和丟番圖幾何領(lǐng)域的成果，其中“將 Uniform Bogomolov 問題轉(zhuǎn)化為證明某個直線叢的算術(shù)大性”等創(chuàng)新方法，更是被評價為給相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了全新的視角和工具。

統(tǒng)一算術(shù)與幾何的 Bogomolov 猜想

這篇論文旨在證明 Uniform Bogomolov-type 定理，這是一個關(guān)于代數(shù)曲線上有理點分布的問題。

數(shù)學界對這個問題的研究還要追溯到 40 多年前。

著名的算術(shù) Bogomolov 猜想由 Fedor Bogomolov 在 1980 年提出，由 Emmanuel Ullmo 和張壽武在 1998 年證明。

進入 21 世紀，通過數(shù)域和函數(shù)域之間的類比，Walter Gubler 和 Kazuhiko Yamaki（山木壱彥）提出了幾何 Bogomolov 猜想。

直到 2021 年，袁新意和謝俊逸合作，終于完全證明了幾何 Bogomolov 猜想的所有情形。當時也正是這篇論文，讓低調(diào)回到北大的袁新意重回大眾視野。

既然幾何 Bogomolov 猜想已完全證明，那么現(xiàn)在這篇新論文又做出哪些突破呢？

將 21 年的結(jié)果推廣到算術(shù)情形，在數(shù)域和函數(shù)域給出了統(tǒng)一的處理方法。

總的來看, 袁新意的這篇論文不僅解決了 Uniform Bogomolov 猜想這一重大問題，其中轉(zhuǎn)化問題的新思路更是為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了全新的視角和工具。

• 將 Uniform Bogomolov 問題轉(zhuǎn)化為證明某個直線叢的”算術(shù)大性”

• 通過阿貝爾-雅可比映射, 把曲線上高度分布問題轉(zhuǎn)為 Jacobian 簇上的交點計數(shù)問題

這些方法借助了張壽武的“Admissible pairing”理論，作為張壽武的學生，袁新意與他在 Adelic 直線叢理論方面有深入合作。

2020 年回北大任教至今

袁新意，祖籍湖北麻城，2000 年參加國際數(shù)學奧林匹克競賽獲得金牌，之后進入北大數(shù)學系。

想必不少人對這個名字并不陌生，袁新意同劉若川、惲之瑋、宋詩暢、肖梁和許晨陽等人，正是大名鼎鼎的北大數(shù)學“黃金一代”。

2004 年，這群要奔向世界各地探索數(shù)學進階之路的年輕人，在燕園留下了這樣一張意氣風發(fā)的合影。

彼時，袁新意已在哥倫比亞大學留學一年。袁新意剛好回來團聚，大家相約用一場長跑作為紀念，照片就拍攝在出發(fā)前。

他們從北大出發(fā)一路向南，跑過長安街，跑過天安門 —— 而他們不同的數(shù)學攀高軌跡，也在這種別離紀念中，朝向大洋彼岸拉開序幕……

畢業(yè)后，袁新意前往哥倫比亞大學，師從華人數(shù)學家張壽武。

2008 年在華人數(shù)學家張壽武的指導下拿到哥倫比亞大學博士學位。同年，袁新意成為第一個獲得美國克雷研究所研究獎的華人。

之后，袁新意曾在克雷數(shù)學研究所做博士后，擔任哥倫比亞大學數(shù)學系 Ritt 助理教授、普林斯頓大學數(shù)學系助理教授、加利福尼亞大學伯克利分校數(shù)學系助理教授。

而在 2020 年，袁新意決意回歸故土，加入母校北大，任北京國際數(shù)學研究中心教授至今。

袁新意的研究主要集中在 Arakelov 幾何、代數(shù)動力學、丟番圖幾何、Shimura 簇以及 L 函數(shù)的特殊值等領(lǐng)域，并在這些領(lǐng)域獲得了矚目的成就。

例如，他在哥倫比亞大學讀博期間，就與同為北大數(shù)院 2000 級的張偉展開了一系列研究。

袁新意、張偉，再加上惲之瑋、朱歆文，四人在圈內(nèi)被并稱為“數(shù)學界四小天鵝”。張偉在 2004 年赴哥倫比亞大學，和袁新意一樣拜入張壽武門下。

張壽武曾對兩人說：“做完博士論文，我與你們的師生關(guān)系就結(jié)束了，你們不走，咱們就做個朋友，一起做做學問?！?/p>

兩人欣然應允，于是三位頂級數(shù)學家先是拿下了第一個合作成果：

與庫達拉猜想（Kudla Conjecture）中的模性（Modularity）問題有關(guān)，這是張偉博士論文的內(nèi)容，三人一起深入挖掘了公式，將其推廣到了全實域。

又緊接著又是志村簇（Shimura varieties）上復乘點的高度，他們建立了 Waldspurger 公式在算術(shù)代數(shù)幾何下的一個模擬，遠遠走出了現(xiàn)有的 Gross-Zagier 公式。

最后的成果甚至從論文變成了一本書，以書的形式出版在《普林斯頓數(shù)學研究年刊》上。

在合作結(jié)束后的多年，張壽武還對這段經(jīng)歷念念不忘：

袁新意是奧數(shù)冠軍隊成員，他的基本功沒人可比，如果他說一個結(jié)論是對的，就肯定是對的；張偉思想太活躍，有很多想法。有些是對的，有些不完全對，但很有發(fā)展的價值。

他們的性格完全不一樣，但在一起合作非常愉快，對我來說是千載難逢的機會：哪有這么好的年輕的學生做好論文后還不想走，在這里待下來？！”

除此之外，2021 年袁新意還在曲線?？臻g上構(gòu)建了算術(shù)典范線叢，并驗證了其正性，從而提供了一致莫德爾猜想的新的幾何化證明。

在對 Bogomolov 猜想的研究告一段落之后，算術(shù)幾何領(lǐng)域仍有諸多亟待攻克的難題，如 ABC 猜想、BSD 猜想等。張壽武就曾透露，自己曾經(jīng)最想解決的是 ABC 猜想。

期待數(shù)學家們能夠繼續(xù)合作，破解更多難題。

參考資料：

• [1]http://english.math.pku.edu.cn/Research2/9271f6daf5984ce6aed9ffaced13d3ef.htm

• [2]https://www.math.pku.edu.cn//jgzj/gkxw/128700.htm

• 論文鏈接：https://arxiv.org/ pdf/2108.05625

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