被譽為“20 世紀最有影響力之一”的數(shù)學家卡拉比（Eugenio Calabi）逝世了，享年 100 歲。

他的一生，為人類幾何學的進步做出了眾多重要貢獻。

其中最為著名的，當屬卡拉比在 1954 年提出的關于一類特殊流形的猜想 —— 卡拉比猜想。

在 22 年后的 1976 年，時年 27 歲的丘成桐正是通過證明這一猜想，一舉名揚四海。

也因此讓丘成桐在 1982 年斬獲數(shù)學界最高獎菲爾茲獎，成為這一獎項的首位華人得主。

但更為重要的是，正是卡拉比猜想的證實，才有了后來以二人名字命名的卡拉比-丘流形。

在物理學家們的關注之下，卡拉比-丘流形也成為了連接數(shù)學和物理的重要橋梁，并為物理學打開了一扇新大門。

簡而言之，用物理學家布萊恩?格林（Brian Greene）來說就是：

宇宙的密碼，也許就刻在卡拉比-丘空間的幾何之中。

甚至直到現(xiàn)在，每年都會有眾多數(shù)學家、物理學家，發(fā)表數(shù)千篇文章來探索它的性質(zhì)。

而這一切故事的開始，都是源自卡拉比當年提出的那個猜想。

因此，很多人在提到卡拉比的時候都會用這樣的形容來描述：

富有創(chuàng)造力，具有革命性、原創(chuàng)性的數(shù)學家。

現(xiàn)如今，這位數(shù)學界的巨星隕落，我們謹以此文來紀念卡拉比傳奇且值得敬仰的一生。

為超弦理論打下基礎

1923 年，卡拉比出生于意大利米蘭的一個家庭，1938 年舉家遷往美國。

他本是一位 16 歲就進入 MIT 的天才少年，卻在進入校園后足足 7 年才本科畢業(yè)。

當然，問題并不是出在卡拉比自身，只是命運和他開了一個小小的玩笑。

1939 年入學的卡拉比，本科生涯是幾乎都是在二戰(zhàn)時期度過的，前三年都還算順利。

轉(zhuǎn)折出現(xiàn)在 1943 年，本來快要畢業(yè)的卡拉比應征入伍，上學的事情只好推遲了。

這一去便是兩年，二戰(zhàn)勝利后，卡拉比在退伍軍人組織的幫助下終于在 1946 年取得了學士學位。

但天才終究是天才 —— 本科畢業(yè)后僅過了一年，卡拉比就在伊利諾伊大學香檳分校獲得了數(shù)學碩士學位。

碩士畢業(yè)后，卡拉比到普林斯頓大學攻讀博士學位，導師是美國科學院院士博赫納（Salomon Bochner）。

讀博期間，卡拉比對凱勒流形產(chǎn)生了深厚的興趣，他的學位論文也與此有關，這為卡拉比猜想的提出埋下了伏筆。

1950 年，卡拉比獲得了博士學位，并于次年開啟了在路易斯安那州立大學的助理教授生涯。

時間來到 1953 年，卡拉比開始思考一類以前“從未有人想象過的形狀”。

直到 1954 年，國際數(shù)學大會在阿姆斯特丹舉行，正是在這屆數(shù)學大會上，卡拉比在會議的邀請報告中用一頁紙寫下了他的著名猜想。

令 M 為緊致的卡勒（Kahler）流形，那么對其第一陳類中的任何一個（1，1）形式 R，都存在唯一的一個卡勒度量，其 Ricci 形式恰好是 R。

如果從物理學上來描述，這個猜想可以表示為在封閉的空間，有無可能存在沒有物質(zhì)分布的引力場？

卡拉比還粗略地描述了一個他的猜想的證明思路，并證明如果解存在則必定唯一。

但此后的 20 多年里，這一猜想始終未能得到證明，其間卡拉比先后到了明尼蘇達大學和賓夕法尼亞大學任教，并晉升為了教授。

盡管卡拉比在提出猜想的同時給出了證明思路，但在 1957 年，他發(fā)現(xiàn)這條路可能走不通。

按照卡拉比的思路，證明過程中需要求解一個極為艱深而復雜的偏微分方程，叫作 Monge-Ampere 方程。

卡拉比請教了著名數(shù)學家魏爾（Andre Weil）教授，結(jié)果魏爾也表示自己無能為力。

（實際上，到 2021 年，關于該方程的突破依然是可以發(fā)頂刊的水平。）

直到 1970 年，正在伯克利讀書的丘成桐在導師 Blaine Lawson 的推薦下認識了卡拉比。

不過卡拉比和丘成桐兩人攀談一番之后，丘成桐認為他的猜想并不成立，此后便開啟了 3 年的尋找反例生涯。

1973 年，丘成桐在出席國際幾何會議期間將此消息告訴了幾位朋友，引發(fā)一片嘩然，并被邀請進行報告。

會上，丘成桐詳細介紹了如何尋找卡拉比猜想的反例，卡拉比本人也參加了報告會。

陳省身在會后對丘成桐說，這個反例或許是本次大會的最佳成果。

卡拉比猜想中涉及的“陳類”便是因陳省身而得名，陳省身的這一評價似乎宣告了卡拉比猜想的結(jié)束。

△ 陳省身

但這并沒有讓卡拉比放棄自己的想法。

兩個月之后，卡拉比致信丘成桐，希望他能為自己解釋反例中一些沒有弄清楚的問題。

看到這封信，丘成桐馬上明白，自己出錯了。

又經(jīng)過多次試圖舉出反例失敗后，丘成桐決定調(diào)轉(zhuǎn)研究方向 —— 證明卡拉比猜想成立。

這一證明過程花費了丘成桐四年時間，但前三年都試圖在尋找 Monge-Ampere 方程的光滑解。

但難度可想而知，最終丘成桐決定變換思路，構(gòu)造一系列近似解并使其最終收斂于 Monge-Ampere 方程。

最終在 1976 年，丘成桐利用卡勒幾何中的曲率的概念成功證明了卡拉比猜想，并將證明過程的復印件寄給了卡拉比。

20 余年的猜測終于塵埃落定，基于這一猜想，卡拉比-丘流形被構(gòu)建了出來，成為了物理學界超弦理論重要基礎。

此后，卡拉比依舊對數(shù)學葆有著深厚的熱情，直到 90 多歲，他仍繼續(xù)堅持著進行數(shù)學研究。

不過，卡拉比并不是從一開始就決心成為一名數(shù)學家。

從化學工程師轉(zhuǎn)行研究數(shù)學

卡拉比的父親是一名律師，還有一個當記者的姐姐。

盡管卡拉比小時候?qū)?shù)學也有濃厚的興趣，但他在麻省理工學院主修的專業(yè)是化學工程。

二戰(zhàn)入伍期間，他在法國和德國給美國陸軍擔任翻譯。

回到美國后，他在攻讀數(shù)學碩士和博士之前曾短暫擔任化學工程師。

但從讀數(shù)學碩士開始，卡拉比對數(shù)學的熱愛便一直延續(xù)到了生命的盡頭。

對于自己所喜歡的數(shù)學，卡拉比這樣描述：

能把自己的愛好當成一種職業(yè)，是我一生中非同尋常的幸運

卡拉比非常喜歡與人交流數(shù)學問題，和學生談話可能會持續(xù)幾個小時。

他的學生陳秀雄回憶說，卡拉比教授總是充當話題開啟者的角色。

無論是在收發(fā)室還是走廊中，陳秀雄經(jīng)常被卡拉比“攔下來”討論數(shù)學問題。

每當有靈感時，卡拉比會隨手拿來紙張，在信封、餐巾紙等紙片上寫下公式。

丘成桐與卡拉比交流時也遇到過這種情景，他還保存了一些當時使用的餐巾紙。

我總是從這些公式中學習，這些公式傳達了卡拉比不可思議的幾何直覺。

他非?？犊胤窒碜约旱南敕ǎ⒉辉诤跏欠衲芤虼双@得榮譽。

他只是覺得做數(shù)學很有趣。

百歲生日獲眾多數(shù)學家祝賀

在數(shù)學界，能夠慶祝一位傳奇人物百歲生日并不是常見的事情。

上一次出現(xiàn)這種情況還要追溯到 1991 年奧波德?維托里斯（Leopold Vietoris）的百歲壽辰。

因此在今年 5 月 11 日，在卡拉比 100 周歲生日之際，全球眾多數(shù)學家都道來了祝賀。

從這些祝賀語中，我們其實也可以從側(cè)面看出卡拉比在為人和學術上所散發(fā)的光芒。

最值得一提的便是丘成桐了，他在為卡拉比的撰文中這樣描述道：

我視陳省身、莫里、尼倫伯格、辛格和卡拉比為師，但思想上與卡拉比最為接近，交流最無拘束。所以每次見到他，都會上天下地，無所不談。

這二十年來，我們見面時間不多，但是我總惦記著我的老師和朋友卡拉比先生。他一生追求學問，不慕名利，樂于教人，受到同行的尊敬，晚輩的仰望。他的數(shù)學成就斐然，早已銘刻在科學史的豐碑上。

賓夕法尼亞大學的杰瑞?卡茲丹（Jerry Kazdan）回憶起他與卡拉比學術交流的過程。

他認為卡拉比所擁有的驚人的對幾何的洞察就是自身的天賦，他對什么是重要和有趣的事情有著深刻的直覺，并總是慷慨地分享他的想法：

他經(jīng)常來到我的辦公室，開始在黑板上解釋他最近的一些想法。

以至于有時候，碰巧在辦公室的本科生會一頭霧水地看二人的討論。

陳秀雄在賀詞中則是提到了卡拉比教會他的一種好習慣：

卡拉比教授會讓我在下次見面時重復他說的話或我聽到的內(nèi)容，而不參考任何筆記。

正如他所解釋的那樣，“直到它烙印在你的記憶中，它才會成為你的?！?/p>

現(xiàn)在我是這句話的狂熱擁護者，我一直把它傳授給我自己的學生。

而縱觀其他數(shù)學家們的賀詞，一個非常直觀的感受便是，許多人都在回憶他們與卡拉比之間所交流的學術話題，并且給予他們的深刻印象。

由此，足以可見卡拉比在幾何學上的充沛且源源不斷地熱情了。

更難能可貴的是，他不僅是自己在發(fā)熱，更是將余溫散播給了旁人：或是做學術的習慣，或是所散發(fā)出來的精神力量，都在鼓舞激勵著“后浪們”。

R.I.P

參考鏈接：

• [1]https://www.quantamagazine.org/the-mathematician-who-shaped-string-theory-20231016/

• [2]https://euromathsoc.org/magazine/articles/144#S0.SS0.SSSx9

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